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  100??和991??哪個大？哪種進位制效率最高？

發(fā)布日期：2022/3/23 14:17:19      瀏覽量：

作者：李永樂

你知道100??和991??哪個更大嗎？

先看看兩個數(shù)的含義：

你會發(fā)現(xiàn)：無論是99個100，還是100個99，加起來都是9900。

所以這個問題變成了：如果你把9900拆成幾個數(shù)的和，然后把它們乘起來，什么時候乘積最大？

小學時候，我的數(shù)學老師教過我這個問題。他說：把一個數(shù)拆成幾個正整數(shù)的和，讓它們的乘積最大，應該盡量拆3，拆不了3的，就拆2或者4。這個時候乘積就最大。

比如，你要把12拆成幾個正整數(shù)的和，再把它們乘起來。你可以拆成12個1、或者6個2、或者4個3、或者3個4、或者2個5和1個2、或者2個6。它們的乘積是：

你發(fā)現(xiàn)沒？把12拆成4個3，它們的乘積是81，最大。

現(xiàn)在，你要把9900拆成一大堆正整數(shù)的和，讓它們的乘積最大，那么應該拆成3300個3，它們的乘積最大：

如果拆成100個99或者99個100的話，因為99離3更近，所以991??更大。實際上：

這個結論有啥用呢？

它可以告訴我們：我們平常用的10進制和計算機的2進制，都沒有3進制的效率高。

具體來說：大家一定見過小孩玩的算珠計數(shù)器吧！如果給你100個珠子，你最多能表示出多少個數(shù)呢？

如果計數(shù)器用10進制，那每一位的柱子上需要有10個珠子(不要跟我爭論9個珠子也可以，從0到9明明就是10個數(shù)),100個珠子可以串滿10根柱子，也就是能表示出十位數(shù)，總共能表示101o個數(shù);

如果用5進制，每一根柱子上需要串5個珠子，一共能串滿20位，也就是能表示52o個數(shù)...

以此類推，列一個表格：

你會發(fā)現(xiàn)：同樣用100個珠子，使用3進制——每根柱子上串3個珠子，表示33位，效率是最高的，它能表示出最多的數(shù)字！

我們還可以把進制x作為橫坐標，把100個珠子在這種進位制下能表示的數(shù)作為縱坐標，畫出一幅圖，你會發(fā)現(xiàn)，在進位制是e=2.71828…時表示的數(shù)最多！這個數(shù)就是自然常數(shù)e！它是一個和圓周率π一樣神奇的無理數(shù)！

當然，進位制應該是整數(shù)，就找一個最靠近e的數(shù)吧——那就是3！

我們在生活中用10進制，因為方便，計算機普遍采用二進制，因為符合電路特點。但實際上，3進制才是效率最高的。美國和蘇聯(lián)其實都研究過3進制計算機，不過因為種種原因放棄了。說不定什么時候，人們重啟了三進制計算機的研究呢。

那么，為什么3有這么神奇的性質(zhì)呢？

其實，這是一個函數(shù)極值問題。我們要將一個整數(shù)N拆成幾個x的和，顯然可以拆出N/x個數(shù)。把它們乘起來，乘積函數(shù)f(x)可以寫作：

現(xiàn)在我們要問：x取多少，這個函數(shù)才最大呢？我們對這個函數(shù)取對數(shù)，再求導數(shù)：

你會發(fā)現(xiàn)：

·         當x

·         當x>e時，lnx>1，導函數(shù)小于0，f(x)是減函數(shù)；

·         當x=e時，導函數(shù)等于0，f(x)取最大值。

所以，把一個數(shù)拆自然常數(shù)e的和，這些數(shù)的乘積才是最大的！在自然界中，e進制也是效率最高的。如果必須選擇整數(shù)，那就選擇那個最接近e的整數(shù)——3?，F(xiàn)在，你明白了嗎？