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  通過圖論直觀地解釋線性代數(shù)的基本原理，理解機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理(轉(zhuǎn)自網(wǎng)易號老胡說科學(xué)）

發(fā)布日期：2022/3/7 14:56:17      瀏覽量：

對很多人來說，數(shù)學(xué)是一門很難學(xué)的學(xué)科，它非常廣泛，在許多領(lǐng)域都有各種各樣的應(yīng)用。線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一部分，理解和應(yīng)用起來尤其困難。在我看來，關(guān)于線性代數(shù)的許多課程和開源工具都需要大量的計(jì)算。對于剛接觸 線代 的新人來說，這可能是個問題。線性代數(shù)在數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)中有各種各樣的應(yīng)用——舉幾個例子：自然語言處理、推薦系統(tǒng)、降維、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。對線性代數(shù)有較強(qiáng)的基礎(chǔ)理解將有助于理解機(jī)器學(xué)習(xí)的底層邏輯和數(shù)學(xué)方法。

本文將著重于通過圖形的使用來從視覺上理解線性代數(shù)的計(jì)算，這將涵蓋許多核心概念，如矩陣的加法、減法、乘法、除法、轉(zhuǎn)置等。這些是線性代數(shù)中非常基本和常見的概念，這些概念在機(jī)器學(xué)習(xí)中也經(jīng)常出現(xiàn)。

圖論與線性代數(shù)

圖論和線性代數(shù)是相輔相成的，數(shù)學(xué)中有一個完整的 子 范疇叫做代數(shù)圖論，它使用代數(shù)方法來解決有關(guān)圖的問題。這些代數(shù)方法往往包括各種線性代數(shù)。

圖的鄰接矩陣

本文使用的核心概念是鄰接矩陣。鄰接矩陣是指可以將一個圖G轉(zhuǎn)換成一個矩陣，反之亦然。鄰接矩陣總是對稱的，由表示圖G中相鄰頂點(diǎn)對之間連接的元素組成。圖到相關(guān)鄰接矩陣的轉(zhuǎn)換可以很容易地在下面的圖中說明。

·         圖G的鄰接矩陣

如果圖G有任何自循環(huán)，在上圖中矩陣的對角線上就會有值。鄰接矩陣封裝了圖的結(jié)構(gòu)和關(guān)系。鄰接矩陣可以表示為稀疏或 密集 矩陣，使其在圖上運(yùn)行實(shí)驗(yàn)的計(jì)算效率非常高。因此，鄰接矩陣是表示圖的最常用方法之一。在本文中，我將把線性代數(shù)中介紹的基本概念應(yīng)用到鄰接矩陣中，并展示與該矩陣相關(guān)聯(lián)的圖是如何相應(yīng)地變化的。

算術(shù)運(yùn)算

對大多數(shù)人來說，對矩陣進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算是非常簡單和直觀的。理解基于算法的圖最簡單的方法是通過加權(quán)圖。通過線性代數(shù)中涉及的一般算術(shù)，與這些算術(shù)相關(guān)的圖形可能會發(fā)生巨大的變化。新的邊可以形成或移除，與這些邊相關(guān)的影響將增加或減少重要性。這個圖可以從一個連通的網(wǎng)絡(luò)變成一個不連通的網(wǎng)絡(luò)。下面展示的示例可以更好地從視覺上理解圖上的矩陣算術(shù)。

加減圖

·         通過圖直觀地顯示矩陣加法，正如你可以看到的那樣，圖已經(jīng)合并了具有比以前更高權(quán)值的 邊 。

雖然這個例子只介紹了加法，但是應(yīng)該可以很直觀地看出減法對圖形的影響。

乘除法

·         這幅圖顯示了當(dāng)圖形乘以一個常數(shù)時的影響，顯然圖形的形狀沒有改變，但邊的權(quán)值增加了。

點(diǎn)積

點(diǎn)積是一個很難從視覺上理解的概念，特別是當(dāng)你要相乘的矩陣的維數(shù)很大的時候。當(dāng)研究如下所示的圖像時，請記住，當(dāng)取兩個圖的點(diǎn)積時，它幾乎肯定會成為一個有向圖。下圖你將看到取兩個無向圖（鄰接矩陣）的點(diǎn)積的結(jié)果，它是有向圖。在最簡單的形式中，如果一個圖不包含重復(fù)邊和循環(huán)，它就是無向圖。這意味著無向圖的鄰接矩陣對角線為零，且矩陣M^T的轉(zhuǎn)值等價于M。

正如你將看到的， 有 向圖是非常不同的。有向圖是由有向邊組成的圖，這意味著只有在有向邊到達(dá)某個節(jié)點(diǎn)時才能從一個節(jié)點(diǎn)到另一個節(jié)點(diǎn)。方向 通常 通過邊上的箭頭來指示。

·         兩個矩陣的 點(diǎn)積 的直觀表示。

點(diǎn)積 得到的圖完全改變了人們對圖的理解。兩個（相對）簡單圖的點(diǎn)積會導(dǎo)致一些相當(dāng)混亂的結(jié)果。正如你所看到的，你可以遍歷具有不同權(quán)值的各個節(jié)點(diǎn)。

轉(zhuǎn)置陣

傳統(tǒng)上，當(dāng)我們要轉(zhuǎn)置一個矩陣時，所要做的就是在它的對角線上翻轉(zhuǎn)這個矩陣。但是這如何影響相關(guān)的 圖 呢？

轉(zhuǎn)置背后最簡單的視覺理解是通過觀察 有 向圖。如上所述，當(dāng)圖G的一個節(jié)點(diǎn)通過一條邊指向另一個節(jié)點(diǎn)時，圖G是有方向的，那么該圖G的轉(zhuǎn)置將表明方向被交換了。這可能是對矩陣轉(zhuǎn)置如何影響網(wǎng)絡(luò)的最直觀的理解。

·         如圖所示，對有向網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行轉(zhuǎn)置，只是改變了這些邊所面向的方向。

線性組合

圖的線性組合與向量的線性組合非常相似。線性組合可以用以下定義來概括：

數(shù)學(xué)

常數(shù) : a, b, c, ... z

項(xiàng)：G1, G2, G3, ... Gn

線性組合 = a*G1 + b*G2 + c*G3 + ... + z*Gn

現(xiàn)在，當(dāng)在圖的背景下考慮線性組合時，假設(shè)每個向量現(xiàn)在是一個對應(yīng)于圖的對稱矩陣。然后，我們可以直觀地看到，當(dāng)合并網(wǎng)絡(luò)時，每個變化所產(chǎn)生的影響。如下圖所示：

·         3個不同的圖形G1、G2和G3（從左到右）與常數(shù)a1、a2、a3（3,2,1）相乘的線性組合及其對應(yīng)的結(jié)果。

線性代數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

線性代數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用有很多種。獨(dú)熱編碼、多種降維模型等概念從根本上起源于線性代數(shù)。像PCA這樣的模型直觀地使用了線性組合和特征向量背后的思想，以減少輸入數(shù)據(jù)，同時盡量減少信息丟失。

線性代數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)中的更復(fù)雜應(yīng)用表現(xiàn)為推薦系統(tǒng)和深度學(xué)習(xí)。所有形式的推薦系統(tǒng)都使用各種線性代數(shù)來解決所提出的問題。基于內(nèi)容、協(xié)同過濾和混合方法解決推薦系統(tǒng)中的問題，使用線性代數(shù)中的常見概念，如點(diǎn)積、余弦相似度、歐幾里德距離、矩陣分解等。在推薦系統(tǒng)中，即使是像鏈接預(yù)測這樣的復(fù)雜方法，也從根本上使用大量的線性代數(shù)來識別網(wǎng)絡(luò)中缺失的邊。

深度學(xué)習(xí)的本質(zhì)是線性代數(shù)，從用于定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)到它在訓(xùn)練和測試數(shù)據(jù)中的方法。深度學(xué)習(xí)中一個常見的術(shù)語是張量，張量本質(zhì)上是一個超過二維的矩陣。

希望這篇文章能為你提供圖論和線性代數(shù)數(shù)學(xué)背后的直覺和聯(lián)系。這些概念經(jīng)常出現(xiàn)在各種機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)科學(xué)應(yīng)用的幕后。對這些概念有一個更嚴(yán)格和更基礎(chǔ)的理解，將最有可能幫助你學(xué)習(xí)各種機(jī)器學(xué)習(xí)相關(guān)的概念。